Racine carrée complexe

Définition

Soit  `a` un nombre réel.

On appelle racines carrées complexes de  `a` les solutions dans  \(\mathbb{C}\) de l'équation \(x^2=a\) .

Proposition  

Soit  `a` un nombre réel.

• Si `a > 0` , alors `a` possède deux racines carrées réelles : \(-\sqrt{a}\) et \(\sqrt{a}\) .
  
• Si `a = 0` , alors  `a` possède une seule racine carrée réelle : 0 .
  
• Si `a < 0` , alors  `a` possède deux racines carrées complexes : \(-i\sqrt{-a}\) et \(i\sqrt{-a}\) .
  

Re marque

La notation de radical `\sqrt{.}`  n'est utilisée que pour les nombres réels positifs ou nuls, afin d'éviter toute confusion. Ainsi,  \(\sqrt{-a}\) est bien définie lorsque `a\leq 0`  (car \(-a\geq0\) et on peut bien calculer la racine carrée de `-a` ).